黄金分割与分形几何
发布: 2009-5-01 15:31 | 编辑: 小编 | 查看: 1218次
一、无所不在的黄金分割
黄金分割是我们在初中学习平面几何的时候就接触到的知识。设线段AB 长度为1，在上面取一点C 使得AC/BC = AB/AC ，C点被称为线段AB的“黄金分割”点。
设AC 部分长为X，则x/(1-x)=1/x，即x^2+x-1 =0 。解这个方程得：
x=(-1±√5)/2。因为X>0，所以x=(-1+√5)/2≈0.618，1/x=(1+√5)/2≈1.618
这两个数就是自然界普遍存在的“黄金分割”数。
《达芬奇密码》中反复提到的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34……，其特点为数列中每一项为前两项之和，即
A(n+1)=A(n)+A(n-1),n≥2
这个数列广泛存在于自然界中。
树枝上的分枝数，大多数花的花瓣都是斐波那契数列中的数：例如百合为3，梅花5，桔梗常为8，金盞花13…等等，玫瑰更是按着斐波那契数列由内而外排列。斐波那契数列也出現在松果上。如上图右，一片片的鳞片在整粒松果上顺著两组螺旋线排列：一组呈顺时针螺旋，另一组为逆时针螺旋，顺时针螺旋的排列数目是８，而逆时针螺旋方向则为13。向日葵也是一样（上图左），常见的螺旋线数目为34及55，较大的向日葵的螺旋线数目为89 及144，更大的甚至还有144 及233，這些全都是斐波那契数列中相邻两项的数值。
那么斐波那契数列和黄金分割有什么联系呢？用数列中任意一项比上前一项，1/1 = 1，2/1 = 2，3/2 = 1.5, 5/3 = 1.666……, 8/5 = 1.6, 13/8 = 1.625, 21/13 =1.61538……我们发现项数越大，这个比值越接近黄金数1.618。
除了植物世界外，在动物世界甚至我们人体本身中，黄金分割更是不断地出现。从外观上看大多出现在动物的形体中。
人四肢后肢与前肢的比，身高与肚脐到腿之间距离的比，甚至手指每一节骨头与后面一节骨头的比，都接近黄金数1.618。芭蕾舞演员颠起脚尖跳舞，就是为了让身体的比例更接近黄金分割。小说中提到的达?芬奇作品《维特鲁维人》，就是他严格按照人体的黄金分割比例绘制成的。
黄金分割在自然界和人体中如此广泛地存在，因此成为人类潜意识中的审美标准，成为了人类艺术的宠儿。绘画和照片中如果把主要景物放在黄金分割位置，将给人一种最美的视觉感受。从古至今许多建筑有遵循着黄金分割的规律，包括金字塔的斜面三角形高与底面半边长之比，雅典神庙和巴黎圣母院的外观，甚至像东方明珠一样许许多多电视塔的观光层位置，都利用黄金分割比给人以美的享受。
黄金分割有一种几何上的自相似性，部分与部分的比等于部分与整体的比，等于整体与更大整体的比……20 世纪70年代，数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）提出了“分形”的概念，用来描述自相似性，并首先引入了“分数维”的概念。
二、分形几何学
分形概念最早出现于Mandelbrot 对海岸线测量问题的研究中。
对于谋国家海岸线这种不规则图形，如果选取的测量尺度不一样，测量结果将相差甚远。当选择测量尺度很大时，细小的地方没有测量，得到的值会比较小。而用小尺度测量，得到的结果会大得多。用的尺度越小，得到的值将越大。也就是说，现实中这种复杂的不规则边界的图形，没有准确的周长。随着测量尺度的减小它的周长将趋于无穷。如果这种不规则边界呈现出一种小尺度和大尺度相似的特征，并且无限细分下去都存在这种自相似性，我们称这种几何形状为“分形”。
Koch 曲线就是在一个等边三角形一条边上截取中间1/3边长，生成新的等边三角形，然后一直一层一层无限生成下去。
定量描述分形结构，需要引入“分数维”这个超越人类整数维思维的概念。我们知道，线的维度是一维，平面维度为二维，立体为三维，物理学中最有希望统一所有基本粒子及其相互作用的理论——超弦理论需要在更高维度的空间中建立，我们暂且不去讨论它。
就维度性质而言，1 维相对于2 维来说，是在一个维度上与其相同，在另一个维度上值为无限小，。因此在2维平面内无限区域一条无限长的直线，他的维度是1。同理如果2维平面内一个有限区域内一条线的维度为1，它必须是一个有限长的线段，这样才能保证它另一个维度值为无限小。那么如果一条无线长的线束缚在平面上一个有限的区域内，另一个维度的值不再是无限小，它的维度将大于1，但是这条无线长的线并没有填满一个平面，因此它的维度也小于2，一维分形就是这样一个束缚在有限平面区域内无限长的线，它的维度是介于1和2 之间的分数维度。
分形维度计算法则：倍形法
这是计算分形维数一个最简单有效的方法，读者可以利用它来计算相对简单规则的分形维数。另S为分形的一个层次结构单元边长，ε为上一层次分形结构长度和S 的比值，若令上一层次边长为单位长度1，则ε＝1/s，N（ε）为层次分形结构内包含边长S层次结构单元的数目，那么分形维度的计算公式为：D=ln(N(ε))/ln(ε) 称为豪道夫数
三， “黄金分割”的分形解密
科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在1.6—1.7 附近，这让人很自然想起神秘的黄金分割率“1.618”。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢？
黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果把一条线段AB 连接上它的黄金分割线段BC=0.618…×AB 排列，BC再连接CD＝0.618…×BC，无限下去，用等比数列求和公式很容易证明，线段的总长度为AB乘上黄金分数，即1.618…×AB。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。
这种长边与短边比值是黄金数1.618…的矩形称为黄金矩形，是黄金分割自相似性最好的体现。矩形内截取掉一个正方形，剩下的小矩形仍然为黄金矩形。依次无限截取下去，会获得邻近边长比为黄金数，并且依次呈螺旋形排列的自相似正方形。如果将这些正方形内的1/4圆弧连接起来，会构成一个平滑的自相似螺旋，即黄金螺旋。
黄金螺旋便是一个典型的一维分形，我们大致计算一下它的分形维度。用上节提到的取格法，将黄金矩形分成8×8＝64个小的黄金矩形。一般情况下自然界的黄金螺旋有一定粗细，上面有更细微的分形结构，基本能占满它所经过的小格，因此将包含黄金螺旋和与之相切的方格都纳入其中，数得，N（ε）＝29，因此有一定粗细的黄金螺旋分形维度为
ln 29/ln8=1.619327....，很接近黄金数1.618。
生物界中螺旋形状大多为近似的黄金螺旋——如海螺壳，海马的尾巴，植物叶子，花和果实表面排列等等。
通过研究海螺发现，用一条直线穿过它的螺旋中心，这条直线上它的螺旋相邻圈粗细比值很接近黄金分割,那么为什么自然界中的螺旋倾向于选择黄金螺旋呢？我们从图10的黄金矩形出发，将黄金矩形每一个小矩形沿对角线向外移动1/2个边长，依次类推，如图12，这些黄金矩形会围成一个基本填满平面区域的螺旋，可证明，任何其他矩形以这种方式自相似排列，都会重叠或者在平面上留下很大缝隙。只有黄金矩形会趋向于排满平面。
黄金矩形的排列可看成黄金螺旋的离散化，如果将其收缩边缘连续起来，就会出现海螺的那种布满整个平面区域的黄金螺旋。也就是说，只有黄金螺旋这种“依次排列”的自相似才会占满平面区域。伸出自己的左手与纸面垂直，然后握拳，看一下你的食指围成的螺旋是不是和图12很像？人体众多骨骼之所以被各个关节黄金分割，正是由于这些骨骼能够围成这种螺旋形状。
人体处于黄金分割的关节都是能够蜷缩的位置，如手指骨节，肘部，膝盖，颈部，腰腹等等（身体蜷缩时候，蜷缩点位于人体黄金分割——肚脐处），许多哺乳动物关节都具有这种特点，这都是生物经过几十亿年进化的结果，能让身体和四肢完全地蜷缩来抓住东西和自我保护，因此生物界选择了这种没有缝隙的蜷缩——黄金螺旋。
将一个圆周进行黄金分割，它的短弧所对应的角度成为“黄金角”，即360×（1－0.618…）≈137.5° 将黄金螺旋上取距离相等的一系列点，发现点于点连线之间的夹角(发散角)都为黄金角。计算机模拟结果可看出，发散角为137.4°和137.6°的螺旋都无法填满平面，而恰好发散角为137.5°的黄金螺旋可以填满平面，做到点于点之间距离相等。向日葵和菊花都满足这样的排布，这样可以使单位面积内花瓣或种子排列数目最多。
除了黄金螺旋之外，生物界其他的分形大多遵循黄金分割原则，其分形维数也很接近黄金数1.618…
如树的生长。按照黄金分割比例生长树枝和树叶，会使单位面积接收到最多的阳光，其原理与黄金螺旋相似，即能够布满平面的分形结构。
从上面几个例子的分析可以看出，“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”，是生物界自然选择的结果。目前的研究发现，不仅仅是生物界，在自然界很多领域都存在这种自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，太阳系间行星距离，海浪漩涡等等，都是黄金螺旋分形。
分形大多以黄金分割为原则这是自然界的重要现象。
